負の二項定理

$(1-x{)}^{-d}={\sum }_{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d-1}{d-1})x^n$ other form:

• $1/(1-x{)}^{d+1}={\sum }_{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d})x^n$

証明 数学的帰納法を使うためにdで成立していると仮定してd+1での成立を示す

両辺を形式的べき級数の形式微分する $-d\cdot (1-x{)}^{-d-1}\cdot (-1)={\sum }_{n=0}^{\infty }(n+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d-1})x^n$ 両辺をdで割って整理する $(1-x{)}^{-(d+1)}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{n+1}{d}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d-1})x^n$ 二項係数の定義

• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ から $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d-1}\right)=\frac{(n+d)!}{(d-1)!(n+1)!}$ なので $\frac{n+1}{d}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d-1}\right)=\frac{(n+d)!(n+1)}{d(d-1)!(n+1)!}=\frac{(n+d)!}{d!n!}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d}\right)$ 整理すると $(1-x{)}^{-(d+1)}={\sum }_{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+(d+1)-1}{(d+1)-1})x^n$ よってd+1で成立することが示された

d=1の場合 $(1-x{)}^{-1}={\sum }_{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^n={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n$ これは5f0a99d3aff09e00008d4555で示した

多項式・形式的べき級数（３）線形漸化式と形式的べき級数 | maspyのHP