行列の半分

行列Aが対称である時 ${\sum }_{i=1}^{N-1}{\sum }_{j=i+1}^N{A}_{ij}=\left({\sum }_{ij}{A}_{ij}-{\sum }_i{A}_{ii}\right)/2$

• 具体例 ABC177C
  • $A_{ij}=A_i{A}_j$ のとき${\sum }_{i=1}^{N-1}{\sum }_{j=i+1}^N{A}_i{A}_j=\left({\sum }_{ij}{A}_i{A}_j-{\sum }_i{A}_i^2\right)/2$
    • なお${\sum }_{ij}{A}_i{A}_j={\left(\sum A_i\right)}^2$

特に対角成分が0の時

• ${\sum }_{i=1}^{N-1}{\sum }_{j=i+1}^N{A}_{ij}=\left({\sum }_{ij}{A}_{ij}\right)/2$
• 具体例 ABC194C
  • $A_{ij}=(A_i-A_j{)}^2$ のとき ${\sum }_{i=1}^{N-1}{\sum }_{j=i+1}^N{A}_{ij}=\left({\sum }_{ij}(A_i-A_j{)}^2\right)/2$
• ABC147D
  • $A_{ij}=A_i\oplus A_j$