耐戦略性の定義

耐戦略性の定義 from メカニズムデザイン(書籍)

基礎概念 個人の集合$I=\{1,2,\dots ,n\}$ 帰結の集合$X$

• 多くの場合、実行可能な資源配分の集合

選好:$\succsim$

• 選好はもっぱら個人iの選好${\succsim }_i$の形で使われるが定義に際してはiは関係ないので添字を省いた
• 3つの条件を満たすX上の二項関係
  • 反射性$\forall x\in X,x\succsim x$
  • 推移性$\forall x,y,z\in X,x\succsim y\wedge y\succsim z\Rightarrow x\succsim z$
  • 完備性 $\forall x,y\in X,x\succsim y\vee y\succsim x$
• 関連 順序集合
  • 要するに選好とは全順序から[反対称律]がなくなったもの
  • 前順序に完備性を付け加えた物

    • 通常、経済学やゲーム理論では選好は前順序であると仮定する - ゲーム理論〔第3版〕

• 選好の対象部分
• $\forall x,y\in X,x\sim y\iff x\succsim y\wedge y\succsim x$
• 選好の非対称部分
• $\forall x,y\in X,x\succ y\iff x\succsim y\wedge y/\succsim x$
• 選考の非対称性
• $\forall x,y\in X,x\sim y\iff x=y$
  • 相異なる2要素が同程度に好まれることはない
  • こういう選好を「強選好」と呼ぶ(線形選好と呼ぶ人もいるがこの本では誤解を避けて使わない)

X上の選好すべての集合$\mathcal{R}$ 個人iが取りうる選好${\mathcal{D}}_i\subseteq \mathcal{R}$を選好集合と呼ぶ

• 個人によって異なりうる定式化になってるが、具体的な問題によってはもちろん同一にもなりうる。例えば3人の候補者から1人選ぶ投票を考える時は各個人の取りうる選好は当然同一である 個人iの選好: ${\succsim }_i\in {\mathcal{D}}_i$
• 二項関係が「二項関係の集合」の要素なだけだが、脳内でパースエラーを起こしそうだ
• $X$上の二項関係Rは、そもそも順序対$X^2$の部分集合に過ぎない: $xRy\iff (x,y)\in R$ ドメイン: ${\mathcal{D}}_I\equiv {\mathcal{D}}_1\times {\mathcal{D}}_2\times \cdots \times {\mathcal{D}}_n$ 選好組: $\succsim \equiv ({\succsim }_1,{\succsim }_2,\dots ,{\succsim }_n)\in {\mathcal{D}}_I$ 社会的選択対応とは非空対応 $F:{\mathcal{D}}_I\twoheadrightarrow X$のこと
• ドメインから帰結への対応
• 「対応」$\twoheadrightarrow$とは？
  • $F:X\twoheadrightarrow Y$のとき$\forall x\in X,F(x)\subset Y$
  • 関数と比較してみよう
    • $f:X\to Y$のとき$\forall x\in X,f(x)\in Y$
  • $F,G:X\twoheadrightarrow Y$ が$F\subseteq G\iff [F(x)\subseteq G(x)\forall x\in X]$のときFはGの「部分対応」と呼ぶ
  • $F:X\twoheadrightarrow Y,f:X\to Y$が$f\in F\iff [f(x)\in F(x)\forall x\in X]$のときfはFの「セレクション」と呼ぶ
• 非空とは対応の終域が空でないということ
  • 空だと「どの帰結もダメだ！」となるから都合が悪い、たぶん。 社会的選択関数
• 社会的選択対応Fが常に一つの帰結を与える時、Fを社会的選択関数と呼び、fで表す。
  • 「社会的選択対応Fが常に一つの帰結を与える」とは$\forall \succsim \in {\mathcal{D}}_I,|F(\succsim )|=1$ [耐戦略性]
• $\forall i\in I,\succsim \in {\mathcal{D}}_I,{\succsim }_i^{\prime }\in {\mathcal{D}}_i,f(\succsim ){\succsim }_{i}f({\succsim }_i^{\prime },{\succsim }_{-i})$
• つまりどのような選好組($\succsim$)においても、以下が成り立つ
  • 誰か一人iの選好${\succsim }_i$を別の選好${\succsim }_i^{\prime }$に置き換えても、その結果得られる帰結$f({\succsim }_i^{\prime },{\succsim }_{-i})$は置き換えなかった場合に得られる帰結$f(\succsim )$よりiに好まれることはない
• どの個人iにとっても、嘘をついて自分の本当の選好${\succsim }_i$以外の選好${\succsim }_i^{\prime }$を申告しても、自分にとってより好ましい帰結が得られることがない。
  • だからみんな嘘をつかずに申告するよね、ということ