平方数の逆数の和に円周率が出てくる理由

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots =\frac{{\pi }^2}{6}$の理由

https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls

平方数の逆数の和に円周率が出てくる理由

• 斜辺をcとする
• 三角形の面積は2通りの方法で表現できる
• $ab/2=ch/2$
• $a^2{b}^2=c^2{h}^2$
• $a^2{b}^2=(a^2+b^2)h^2$
• $1/h^2=(a^2+b^2)/a^2{b}^2=a^2/a^2{b}^2+b^2/a^2{b}^2=1/a^2+1/b^2$

• 直径がdである時円周はpi d
• 円周が2なので直径は 2/pi
• 逆二乗なのでpi^2 / 4

• 2倍の直径、2倍の円周の、1/2の中心角に対する弧長なので同じ長さ

• 中心角が1/2であることの説明
• 円周角の定理

• 奇数の平方数の和がpi^2/8なのがわかった
• 平方数の和がSとすると、偶数の平方数の和は1/4 S
• 基数の平方数の和はS - 1/4 S= 3/4 S
• なので$S=\frac{{\pi }^2}{8}\frac{4}{3}=\frac{{\pi }^2}{6}$