圏

圏 C は以下のものからなる:

対象の類 ob(C)
対象の間の射の類 hom(C)
- 各射 f ∈ hom(C) には始域と呼ばれる対象 a ∈ ob(C) および終域と呼ばれる対象 b ∈ ob(C) が付随して、“f は a から b への射である” と言い、f: a → b と書き表す。
a から b への射の類 (hom-class; ホム類) hom(a, b) は a から b への射全体の成す類を言う。

このとき、任意の三対象 a, b, c ∈ ob(C) に対し、射の合成と呼ばれる二項演算 hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c); (f, g) ↦ g ∘ f が存在して以下の公理を満足する:

結合律: f: a → b, g: b → c, h: c → d ならば h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f が成り立つ。
単位律: 各対象 x ∈ ob(C) に対して
- x の恒等射と呼ばれる自己射 $i d_{x} = 1_{x} : x \to x$ が存在して、
- 任意の射 f: a → x および g: x → b に対して $1_{x} \circ f = f$ and $g \circ 1_{x} = g$ を満たす。

モノイドとの比較

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