和の期待値は期待値の和

$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ $E\left[{\sum }_i{X}_i\right]={\sum }_{i}E[X_i]$

証明

• $E[X+Y]={\sum }_x{\sum }_y(x+y)P(X=x,Y=y)$ … 期待値の定義
• $={\sum }_x{\sum }_{y}xP(X=x,Y=y)+{\sum }_x{\sum }_{y}yP(X=x,Y=y)$ … 足し算の順序の変更
• $={\sum }_{x}x{\sum }_{y}P(X=x,Y=y)+{\sum }_{y}y{\sum }_{x}P(X=x,Y=y)$ … 定数の括りだし
• $={\sum }_{x}xP(X=x)+{\sum }_{y}yP(Y=y)$ … 周辺化
• $=E[X]+E[Y]$ … 期待値の定義

回数の期待値

• 回数は和

• $\#\{x\in X|f(x)\}={\sum }_{x\in X}[f(x)]$

• 

• $E_Y\left[{\sum }_{x\in X}[f(x,y)]\right]={\sum }_{y\in Y}{\sum }_{x\in X}[f(x,y)]p(Y=y)={\sum }_{x\in X}{E}_Y[[f(x,y)]]$

• これは周辺化してないな…

期待値の線形性

演算順序の変更