ラグランジュの平均値の定理

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$

• 2つの実数$a<b$
• 関数$f(x)$
  • 閉区間$[a,b]$ で連続
  • 開区間 $(a,b)$ で微分可能
• このとき開区間 $(a,b)$ 上に、ある点 $c$ が存在して以下が成り立つ:
• $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$
• これを微分に関するラグランジュの平均値の定理という。
• 別表現として、ある $0<\theta <1$が存在して
• $f(a+h)=f(a)+h{f}^{\prime }(a+\theta h)$
  • 以下の書き換えが行われているだけ$b=a+h,c=a+\theta h$

ラグランジュの平均値の定理により $\log (1+x)=\frac{x}{1+\theta x}$

• なぜなら
• $a=1,h=x$ として
• $\log (1+x)=\log (1)+x{\log }^{\prime }(1+\theta x)$
• ${\log }^{\prime }(x)=1/x,\log (1)=0$なので
• $\log (1+x)=\frac{x}{1+\theta x}$
• log(x)はx=0で微分できないので、xの絶対値は1より小さいことが必要