メビウス関数の和

メビウス関数の和 ${\sum }_{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{lc}1& (n=1)\\ 0& (n>1)\end{array}$

• ${\sum }_{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0$
  • 二項定理
    • $(-1+1{)}^n={\sum }_{k=0}^n(-1{)}^k{1}^{n-k}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)={\sum }_{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$
    • $(-1+1{)}^n=0^n=0$

${\sum }_{d|n}\mu (n/d)g(d)={\sum }_{d|n}\mu (n/d){\sum }_{l|d}f(l)={\sum }_{d|n}{\sum }_{l|d}\mu (n/d)f(l)$

${\sum }_{d|n}{\sum }_{l|d}\mu (n/d)f(l)={\sum }_{l|n}f(l){\sum }_{(n/d)|(n/l)}\mu (n/d)$

eq1より ${\sum }_{(n/d)|(n/l)}\mu (n/d)=\{\begin{array}{lc}1& (n/l=1)\\ 0& (n/l>1)\end{array}$

• メビウスの反転公式と3つの応用 - 数学とその他の日々 from メビウス変換20201105