テイラー展開

テイラー展開とは

• 点 a を含む開区間 I ⊆ R 上で無限回微分可能な実数値関数 f ∈ C∞(I) が与えられたとき、べき級数
• ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$
• を関数 f の点 a まわりのテイラー級数といい、テイラー級数が収束してfに一致するとき、fはテイラー展開可能である、という。
• $\log (1+x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n$ - f(x) = log(1 + x) - f’(x) = 1/(1 + x) - f”(x) = -1 * (1 + x)^(-2) - f'''(x) = -1 * -2 * (1 + x)^(-3) - f^(n)(x) = (-1)^(n+1) (n - 1)! (1 + x)^(-n - a=0
• $\log (1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ - f(x) = log(1 - x) - f’(x) = -1 / (1 - x) - f”(x) = -1 * -1 * -1 * (1 + x)^(-2) - f'''(x) = -1 * -1 * -1 * -2 * -1 * (1 + x)^(-3) - f^(n)(x) = (n - 1)! (1 + x)^(-n) - a=0
• これを使って2次までで近似すると
• $\log (1+x)\approx x-\frac{1}{2}{x}^2$
• $\log (1-x)\approx -x-\frac{1}{2}{x}^2$

from ド・モアブル=ラプラスの極限定理