F値はなぜ調和平均なのか

from F値 F値はなぜ調和平均なのか

F値とは http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.metrics.f1_score.html

• F1 = 2 * (precision * recall) / (precision + recall)

• 最大1最小0

• precision == recall の時にはF値も同じ値

• precision と recall のどちらかが0の時にはF1も0になる

• TP: True Positive

• FP: False Positive

• FN: False Negative

• TN: True Negative

• Precision:

• $P=\frac{TP}{TP+FP}$

• Recall:

• $R=\frac{TP}{TP+FN}$

• 逆数の和

• $\frac{1}{P}+\frac{1}{R}=\frac{2TP+FP+FN}{TP}$

• F1 scoreはPとRの調和平均

• $F1=\frac{2PR}{P+R}=\frac{2\frac{TP}{TP+FP}\frac{TP}{TP+FN}}{\frac{TP}{TP+FP}+\frac{TP}{TP+FN}}=\frac{2TP}{(TP+FN)+(TP+FP)}=\frac{2TP}{2TP+FN+FP}$

• $\frac{2}{\frac{1}{P}+\frac{1}{R}}=\frac{2TP}{2TP+FP+FN}$

• Normalized Symmetric Difference http://www.dcs.gla.ac.uk/Keith/pdf/Chapter7.pdf p.128

• $E=\frac{FP+FN}{2TP+FP+FN}$

• F1とEを足すと1: F1 + E = 1

• Fβスコア

• $F_{\beta }=\frac{(1+{\beta }^2)TP}{(1+{\beta }^2)TP+{\beta }^{2}FN+FP}$

• $\frac{1}{P}+\frac{{\beta }^2}{R}=\frac{(TP+FP)+{\beta }^2(TP+FN)}{TP}$

• 要するにRecallに${\beta }^2$の重みを付けた調和平均

• なぜ$\beta$ではなく${\beta }^2$なのか？？

• $F_{\beta }=\frac{(1+{\beta }^2)TP}{(1+{\beta }^2)TP+{\beta }^{2}FN+FP}=\frac{1+{\beta }^2}{\frac{1}{P}+\frac{{\beta }^2}{R}}$

• 係数は省略してZと書くと

• $\frac{\partial F_{\beta }}{\partial R}=Z\frac{{\beta }^2}{R^2},\frac{\partial F_{\beta }}{\partial P}=Z\frac{1}{P^2}$

• つまり$\beta P=R$ の時勾配が一致する

• 勾配が一致するということは「PやRを同じだけ動かした時のスコアに対する影響が同じ」ということ。

• RがPよりβ倍大きいときに均衡するということ？